Schedule for: 18w5142 - Mexican Mathematicians in the World: Perspectives and Recent Contributions

La mayor parte de mi plática será una introducción al análisis microlocal y al análisis semiclásico. Estas teorías estudian relaciones estrechas que existen entre funciones y operadores lineales, por un lado, y objetos de geometría simpléctica, por otro. Las relaciones aparecen cuando se considera un cierto régimen asintótico. Por ejemplo, el análisis microlocal le asocia, a cada distribución en una variedad M, un conjunto del espacio cotangente a M llamado frente de onda, que contiene información sobre las singularidades de la distribución. El análisis semiclásico es una teoría vecina, que establece relaciones entre las matemáticas de la mecánica cuántica y la mecánica clásica, cuando la constante de Planck tiende a cero. Hablaré también de algunas aplicaciones de estas teorías, incluyendo resultados recientes.

En esta charla revisaremos como varias desigualdades fundamentales en análisis como son las desigualdades de Sobolev, Log-Sobolev o Gagliardo-Niremberg entre muchas otras pueden ser obtenidas usando desigualdades clásicas en la geometría convexa. Estas últimas desigualdades usualmente estudian algunos parámetros asociados a conjuntos convexos en R^n como son el volumen, area de superficie o la anchura. Esta relación no es siempre obvia y en esta charla presentaremos algunos ejemplos de como ocurre. Esta basada en varios trabajos recientes con J. Haddad y M. Montenegro.

- Alejandro Adem, British Columbia University. - Daniel Juan, Centro de Ciencias Matemáticas, UNAM. - José Antonio de la Peña, Instituto de Matemáticas, UNAM. - Victor Rivero, Centro de Investigación en Matemáticas. - Gelasio Salazar, Universidad Autónoma de SLP. - Julia Tagüeña, CONACYT.

El problema isoperimétrico en el plano, que data de la antigüedad, consiste en encontrar la región con área máxima que tiene un perímetro dado. Es un teorema clásico en análisis que la solución a este problema está estrechamente relacionada con las llamadas desigualdades de Sobolev, que comparan la norma de una función con la de su derivada en ciertos espacios de funciones p-integrables. En la práctica, con frecuencia los dominios de interés no son regiones continuas sino conjuntos discretos. Un modelo especialmente útil es aquél en el que el dominio es un grafo: un conjunto de puntos (vértices) en el que algunos pares están unidos por líneas (aristas). Las desigualdades isoperimétricas en este contexto son particularmente relevantes en Ciencias de la Computación, puesto que juegan un papel crucial en el diseño de algunos algoritmos, y sorprendentemente también están relacionadas con desigualdades de Sobolev. En algunos casos, por ejemplo cuando se tiene un potencial magnético en ciertos modelos cuánticos de enlaces atómicos, para describir el sistema se requiere no solamente el grafo sino también un número complejo de módulo uno asignado a cada arista. En esta charla se presentarán desigualdades isoperimétricas para estos grafos “magnéticos”, que a su vez implican desigualdades al estilo Sobolev.

Sea n un entero positivo. Para q en el conjunto {1,2,…,n-1}, llamamos a q residuo cuadrático si existe algún entero x que satisface la ecuación x^2 = q (mod p); si no existe tal x, llamamos a q un noresiduo cuadrático. En esta charla, discutiremos el problema de encontrar el orden de magnitud de el mínimo no-residuo cuadrático y problemas relacionados como el mínimo primo inerte en un campo cuadrático real, entre otras generalizaciones.

Una introducción sencilla a los ejemplos más fáciles dela compactificación de Deligne-Mumford. (Con John Milnor)

Las álgebras C* son cierto tipo de subálgebras del álgebra de operadores acotados sobre un espacio de Hilbert. En el caso conmutativo, un algebra C* es isomorfa a las funciones continuas sobre un espacio Hausdorff localmente compacto, y por ese motivo, las algebras C* son consideradas como “espacios topologicos no conmutativos”. En esta plática, presentaré una noción de dimensión topológica no conmutativa que vino a revolucionar el área y es un ingrediente fundamental en la reciente clasificación de algebras C*.

We revisit certain classical and recent results on convergence of averages of a fixed element f of a topological vector space V endowed with an action (g,f)↦ ᵍf of an amenable (semi)group G. (In the special case when G = ℕ is the semigroup of naturals, the averages are just (¹f + ²f + ⋯ + ⁿf)/n). Such results, collectively called ergodic convergence theorems—although there is really nothing “ergodic” about them—, include the classical ergodic theorem of Birkhoff as well as von Neumann’s mean ergodic theorem (MET), alongside subsequent generalizations. In collaboration with J. Iovino, we use continuous logic to obtain a radically elementary proof of a MET valid for any polynomial action of an amenable group on a Hilbert space. The Compactness Theorem from logic implies the existence of universal rates of metastable convergence that depend only on the degree of the action.

En los años 80, Gromov definió una distancia, módulo isometrías, entre variedades riemaniannas y demostró que la clase de variedades riemannianas con curvatura de Ricci acotada inferiormente es precompacta. En los años 90, Cheeger y Colding estudiaron propiedades de los límites de sucesiones de variedades riemannianas con curvatura de Ricci acotada inferiormente. En 2006, Lott-Sturm-Villani definieron una noción sintética de curvatura de Ricci para espacios para espacios que no necesariamente sean variedades. Esta condición está basada en el transporte óptimo entre medidas de probabilidad y la convexidad de un funcional de entropía. Los espacios que satisfacen esta condición son llamados espacios CD(K,N) e incluyen a variedades riemannianas con curvatura de Ricci acotada inferiormente. En esta charla nos centraremos en describir ejemplos y propiedades de estos espacios, así como la estructura de su grupo de isometrías.

En geometría Riemanniana un problema importante es construír una métrica distinguida sobre una variedad. En el caso de superficies por ejemplo, podemos considerar las métricas de curvatura de Gauss constante. La pregunta inmediata es ¿cómo construímos mejores métricas para variedades de dimensiones mas altas? En esta charla hablaremos sobre métricas de Einstein y algunas de sus generalizaciones.

El sueño es uno de los procesos biológicos, universal entre todas las especies, y que sin embargo es poco entendido. Una de las más grandes incógnitas es la relación entre la temperatura y la calidad y cantidad de sueño. Resultados experimentales sugieren que cambios en la temperatura ambiental pueden afectar los patrones de sueño. Hemos diseñado un modelo matemático que describe la dinámicas y varias características del ciclo REM/NREM y del ciclo del sueño. Este modelo puede servir para entender mejor la relación entre la temperatura y el sueño.

Sea S una familia de conjuntos S_1, S_2, ..., S_n. El conjunto de intersección T de S es un conjunto que intersecta a cada uno de los conjuntos S_i, i=1, …, n. T es un conjunto mínimo de intersección (CMI) si T no contiene un subconjunto propio que es a su vez un conjunto de intersección de S. El problema de generar la colección de CMIs para una familia de conjuntos dada es de interés en diversas áreas de investigación y ha sido estudiada (bajo una diversidad de nombres) en áreas como la combinatoria, álgebra Booleana y biología computacional. Mientras que algunos resultados interesantes han sido obtenidos para el asociado problema de decisión, la complejidad computacional de este problema es hasta el momento desconocida. Sin embargo, hay una diversidad de algoritmos para generar conjuntos mínimos de intersección. En esta plática, se expondrán diferentes algoritmos para enumerar CMIs y su rendimiento computacional en problemas derivados de varios dominios de investigación científica con un énfasis en aquellos en biología de sistemas computacionales.

- Ana Rechman, Instituto de Matemáticas, UNAM, CDMX. - Felipe Gacía Ramos, CONACYT - Universidad Autónoma de SLP. - Alfredo Nájera, CONACYT - UNAM, Oaxaca. - Humberto Gutiérrez, Universidad de Guadalajara. - Silvia Reyes, Universidad Tecnológica de la Mixteca. - Gerardo Hernández, UNAM, Juriquilla.

El problema de curvatura prescrita en hiper-superficies tiene un relación estrecha con ecuaciones diferenciales elípticas totalmente no lineales. En el caso de la curvatura Gaussiana, el llamado problema de Minkowski llevó al desarrollo de soluciones de ecuaciones de tipo Monge-Ampère. En esta plática enunciaremos el problema para curvaturas k-simétricas en dos tipos de variedad ambiente, uno Riemanniana y otro donde la variedad ambiente es Lorentz. También presentaremos las estimaciones a priori C^2 que que servirán posteriormente para demostrar la existencia de las soluciones al usar el Teorema de Evans-Krylov que provee la regularidad C^{2,a} en el proceso de iteración y considerando funciones barrera.

La microscopía de reconstrucción óptica estocástica (STORM, por sus siglas en inglés) es una técnica de microscopía de superresolución que usa fluoróforos fotoconmutables para separar temporalmente la fluorescencia y alcanzar una resolución por debajo de los 20 nm. Sin embargo, la característica principal de los fluoróforos fotoconmutables de activarse y desactivarse, podría afectar la unicidad de cada observación. Mi proyecto consiste en estimar cuántos fluoróforos distintos hay en una imagen STORM mediante modelos matemáticos y utilizando la información espacial independientemente de la temporal en dicha imagen. Suponemos que la serie de tiempo se comporta como una cadena de Markov, mientras que la incertidumbre espacial obedece un modelo de mezclas gaussianas. Usamos máxima verosimilitud para estimar los parámetros, incluyendo el número de fluoróforos. Tal procedimiento es un problema de optimización mixta (con parámetros de dominio entero y otros de dominio continuo) y computacionalmente intenso. Para resolver esto, desarrollamos un algoritmo jerárquico y paralelo donde optimizamos la verosimilitud de los parámetros temporales como una función de los parámetros espaciales y el número de fluoróforos. El algoritmo se ha probado en datos simulados y lo usaré para mejorar cuantitativamente imágenes de células B, una de las principales integrantes de nuestro sistema inmune.

En reactores de fusión con simetría axial, la condición de equilibrio entre la presión hidrostática en el plasma y la fuerza de confinamiento magnética puede expresarse en términos de la solución de una ecuación semi lineal en derivadas parciales conocida como la ecuación de Grad-Shafranov. La solución de este problema de manera eficiente, rápida y con un alto grado de precisión resulta importante para el diseño de reactores y monitoreo en tiempo real de plasmas en dispositivos experimentales. El método de Galerkin Discontinuo Hibridizable es una estrategia de solución numérica que, basada en una formulación débil de la ecuación, convierte el problema en un conjunto de problemas locales. Estos subproblemas pueden ser resueltos en paralelo y la solución global se construye "pegando" las soluciones locales. Esta estrategia puede tener un orden de aproximación alto y es muy robusta con respecto a las propiedades geométricas del dominio. En esta plática introduciré las ideas básicas del método aplicándolas a la ecuación de Grad-Shafranov.

Las Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDOs) singularmente perturbadas han sido estudiadas por bastante tiempo y cuentan con una amplia gama de aplicaciones, dentro de las cuales se destacan el modelado de sistemas y fenómenos naturales con distintas escalas de tiempo. En la literatura académica, existen diversas teorías matemáticas aplicadas al estudio del comportamiento de las EDOs singularmente perturbadas, por ejemplo: expansiones asintóticas, el análisis no-estándard y la teoría geométrica de las perturbaciones singulares. Esta plática tratará de la teoría geométrica, sus usos y aplicaciones, y también sus limitaciones. En particular, se discutirán las dificultades que se presentan debido a la aparición de singularidades. Posteriormente, se expondrá brevemente una técnica que permite “resolver” o de-singularizar la dinámica en una vecindad de dichas singularidades. Por último, se describirán temas actuales de investigación y perspectivas futuras en el contexto de las perturbaciones singulares.

¿Qué es el caos? ¿Puede el caos aparecer en sistemas deterministas? En matemáticas y física, cuando hablamos de sistemas caóticos, pensamos en sistemas que cambian a lo largo del tiempo. Sistemas que no podemos predecir. Sistemas definidos por reglas muy precisas y rígidas que determinan el futuro. ¿Cómo puede ser que un sistema esté determinado y que no podamos predecirlo? ¿Qué quiere realmente decir la palabra caos (al menos en el mundo científico)?

En esta platica nos interesaremos en problemas de gráficas y métricas en superficies. Nuestro punto de partida es la desigualdad sistólica: en toda superficie hay una curva no contractible no muy larga. Explicaremos construcciones que maximizan la longitud de dicha curva, análogos para la longitud de una descomposición en pantalones y otras maneras de cortar una superficie en superficies mas simples. Estos problemas pueden ser vistos desde el punto de vista discreto con gráficas o continuo, con métricas Riemannianas. Finalmente discutiremos la siguiente pregunta: dada una superficie S existe una métrica m tal que toda gráfica G que se encaja topologicamente en S puede ser encajada de manera que cada arista sea el camino mas corto entre sus extremos?

En geometría diferencial, el estudio de variedades con métricas Riemannianas de curvatura seccional es un tema clásico. Un punto a observar es que hay pocos invariantes conocidos que restrinjan la existencia de este tipo de métricas. Al promedio de las curvaturas seccionales se le llama la curvatura de Ricci. A primera vista, el problema de dar una métrica Riemanniana de curvatura de Ricci positiva debería ser más sencillo o más manejable que el problema de dar una métrica de curvatura seccional positiva. Sin embargo, no ha sido este el caso. Nuestro trabajo se sitúa en este contexto. Veremos que nuestros resultados generalizan trabajos anteriores y daremos ejemplos implícitos y explícitos de variedades que admiten métricas con curvatura de Ricci positiva y un grupo grande de simetría prescrito.

El objetivo de esta platica sera de presentar la conjetura de Mumford- Tate que preve una analogía entre grupos algebraicos definidos sobre Q o Q_p para todo numero primo p. Dicha conjetura establece un puente entre la celebre conjetura de Hodge (para variedades abelianas complejas) y su análogo aritmético la conjetura de Tate (para variedades abelianas definidas sobre un campo de números). Describiremos las tres conjeturas a través varios ejemplos y pre sentaremos nuevos resultados en la dirección de la conjetura de Mumford-Tate.